Perluasan Integral Riemann pada Ruang Euclid

Beberapa waktu lalu saya baru saja selesai menulis makalah yang merupakan karya ilmiah pertama saya. Tema makalah ini adalah teori integral dengan judul “Perluasan Integral Riemann pada Ruang Euclid Real”. Perluasan integral Riemann ini dinamakan integral Henstock. Kata kunci pada makalah ini adalah integral Riemann dan integral Henstock.

Apa perbedaaannya?
Perbedaannya terletak pada pengontrolan partisi. Pada integral Riemannm pengontrolan partisi 'diperankan' oleh fungsi positif konstan . Sedangkan pada integral Henstock, pengontrolan partisi diperankan oleh fungsi positif (yang disebut gauge) .

Silahkan klik link di bawah ini untuk mengunduhnya.

unduh


Berhubung ini adalah karya ilmiah pertama saya dalam bidang matematika murni, mohon maaf kalau ada salah..:D
Kalau menemukan kesalahan, mohon hubungi erkysh@gmail.com
Terima Kasih. Semoga bermanfaat :)

bentuk-bentuk tak tentu

Bentuk-bentuk tak tentu
Dalam matematika ada yang dinamakan bentuk tak tentu, diantaranya : 0/0, 0^0, ∞-∞, ∞/∞, dan lain-lain. Ok, kita bahas satu per satu.

0/0
Banyak perbedaan pendapat menganai 0/0. Ada yang bilang 0/0=1, ada yang bilang 0/0 itu tidak tentu, ada juga yang tidak memberikan pendapat (atau mungkin ga tau? :D)
Saya jabarkan satu-satu alasannya. Yang pertama, yang bilang 0/0=1 alasannya adalah suatu bilangan dibagi dengan bilangan itu sendiri akan menghasilkan 1, contoh :
1/1=1
2/2=1
3/3=1
100/100=1
12351351235/12351351235=1, dst
Yang mengatakan 0/0=1,ia menggunakan prinsip generalisasi. Padahal dalam matematika tidak boleh ada generalisasi.
Kemudian yang mengatakan bahwa 0/0 itu tidak tentu, alasannya menggunakan prinsip bahwa jika a/b=c maka a=b x c. Misalnya, q/5=1, berarti q=5 x 1 = 1. Kemudian misalkan 0/0=p, maka 0=0 x p. Bilangan p berapa yang memenuhi 0=0 x p? jawabannya adalah tak hingga bilangan Karena semua bilangan jika dikali 0 hasilnya pasti 0.
0=0 x 1
0=0 x 2
0=0 x 10
0=0 x 170
0=0 x 375073120, dst
Artinya, ada tak hingga bilangan p yang memenuhi 0=0 x p. Inilah alasan mengapa 0/0 itu tak tentu. Dan ini adalah pendapat yang paling banyak di pakai, baik dari tingkat SD, SMP, SMA, sampai perguruan tinggi. Saya sendiri ada di kubu ini. :p Pendapat yang pertama yang mengatakan 0/0=1 tidak salah, hanya kurang tepat. Ingat, kurang tepat itu bukan berarti salah.
Alasan logis mengapa 0/0 adalah tak tentu dikemukakan ariaturns. Kita tahu bahwa misalkan 6/2 itu analogi dengan ada 6 apel akan dibagikan pada 2 anak, berarti tiap anak mendapat 3 apel. Kemudian jika 0/0 berarti ada 0 apel akan dibagikan pada 0 anak. Apakah kalimat di atas masuk akal? Sedangkan “0” bermakna tidak ada.
Bagi yang tidak mengemukakan pendapat, saya juga ga tau apakah mereka bingung, tidak tahu konsepnya, plin-plan atau bagaimana. :p


0^0
Mengenai hasil dari ^00, ini juga banyak pendapat. Pendapat-pendapat yang ada muncul dari keragaman pendapat mengenai 0/0. Untuk menjelaskannya, saya menggunakan teori mengenai eksponen.
0^0= 0^(a-a)
= 0^a/0^a
= 0/0.
Nah di sini poinnya. Ternyata 0^0=0/0=? Tentunya anda dapat menyimpulkan sendiri bukan?

∞-∞
Berapa nilai dari ∞-∞? Kalau dilihat sepintas ∞-∞ hasilnya adalah 0. Karena dua bilangan yang sama kemudian dikenakan operasi pengurangan akan menghasilkan 0. Tapi ingat, ∞ mempunyai sifat ∞+a=∞. Dari sifat ini didapat
∞+a=∞
∞-∞=a
Dengan a adalah sebarang anggota bilangan real. Lain halnya dengan 0/0, kali ini yang mengatakan ∞-∞=0 adalah salah. Kenapa? Begini ceritanya…:D
∞-∞=0
∞-(∞+a)=0
(∞-∞)+a=0
0+a=0
Adakah nilai a selain 0 yang memenuhi? Saya rasa semua sepakat tidak ada.
Nb :
∞ bukanlah suatu bilangan real ataupun kompleks (himpunan bilangan induk) melainkan sebagai lambing yang menyatakan bahwa suatu bilangan membesar tanpa batas.

∞/∞
Ok, kita sekarang menuju bentuk tak tentu lain, yaitu ∞/∞. Berapa nilainya? Jawaban saya adalah tak tentu (kenapa? ya iyalah kan kita lagi membahas mengenai bentuk tak tentu :p). Ok, saya serius, kenapa ∞/∞ adalah tak tentu? Gini….
∞/∞=0 dasarnya adalah
∞/∞=∞ . (1/∞) = ∞ . 0 = 0
∞/∞=1 atas dasar a/a=1. Jelas?
∞/∞=2. Tanya kenapa?
Di atas dijelaskan ∞ punya sifat ∞+a=∞. a bisa diganti dengan ∞ juga Berarti
∞/∞=(∞+∞)/∞=2(∞)/∞=2
dst….
Dari pemaparan sebelumnya, anda bisa menyimpulkan sendiri bukan?

Sistem Bilangan Real

Himpunan bilangan real adalah gabungan dari himpunan bil rasional dan irrasional. Memahami sistem bilangan real dapat ditempuh dengan dua cara,yaitu sistem konstruksi dan sistem aksiomatis. Di sini saya akan menggunakan aksiomatis.

Syarat sebuah sistem dalam matematika adalah (i)ada himpunan, (ii)paling sedikit ada satu operasi atau relasi. Berarti,untuk sistem bilangan real sudah memenuhi syarat untuk sebuah sistem,ia punya himpunan bil real,dan di dalamnya ada dua operasi utama,yaitu + dan x.

Terdapat tiga aksioma dasar dalam sistem bil real,yaitu:
1. Aksioma aljabar (field)
2. Aksioma urutan
3. Aksioma kelengkapan.

Kali ini saya akan sedikit mengupas aksioma aljabar (field).

AKSIOMA ALJABAR (FIELD).
A1. Utk setiap a,b€R berlaku a+b=b+a.
A2. Utk setiap a,b€R berlaku (a+b)+c=a+(b+c).
A3. Utk setiap a€R,ada tepat satu 0€R sehingga a+0=0+a=a.
A4. Utk setiap a€R,ada tepat satu -a€R sehingga a+(-a)=(-a)+a=0.
A5. Utk setiap a,b€R berlaku a x b=b x a.
A6. Utk setiap a,b€R berlaku a x (b x c)=(a x b) x a.
A7. Utk setiap a€R ada tepat 1€R sehingga a x 1 = 1 x a = a.
A8. Utk setiap a€R ada tepat (1/a)€R sehingga (1/a) x a = a x (1/a) = 1.
A9. Utk setiap a,b,c€R berlaku a x (b+c)=(b+c) x a=a x b+a x c.

Di atas saya katakan bahwa saya akan sedikit mengupas tentang aksioma aljabar. Mengapa? Karena banyak teorema yang bisa diturunkan dari aksioma tsb. Contoh:
Untuk a,b€R berlaku:
1. a.0=0
2. a.b=0 => a=0 atau b=0
3. -(-a)=a
4. (-a)(-b)=ab
5. dll..

Pembahasan dan pembuktian teorema teorema tadi akan saya bahas lain waktu.
Terima kasih
:)