Sistem Bilangan Real

Himpunan bilangan real adalah gabungan dari himpunan bil rasional dan irrasional. Memahami sistem bilangan real dapat ditempuh dengan dua cara,yaitu sistem konstruksi dan sistem aksiomatis. Di sini saya akan menggunakan aksiomatis.

Syarat sebuah sistem dalam matematika adalah (i)ada himpunan, (ii)paling sedikit ada satu operasi atau relasi. Berarti,untuk sistem bilangan real sudah memenuhi syarat untuk sebuah sistem,ia punya himpunan bil real,dan di dalamnya ada dua operasi utama,yaitu + dan x.

Terdapat tiga aksioma dasar dalam sistem bil real,yaitu:
1. Aksioma aljabar (field)
2. Aksioma urutan
3. Aksioma kelengkapan.

Kali ini saya akan sedikit mengupas aksioma aljabar (field).

AKSIOMA ALJABAR (FIELD).
A1. Utk setiap a,b€R berlaku a+b=b+a.
A2. Utk setiap a,b€R berlaku (a+b)+c=a+(b+c).
A3. Utk setiap a€R,ada tepat satu 0€R sehingga a+0=0+a=a.
A4. Utk setiap a€R,ada tepat satu -a€R sehingga a+(-a)=(-a)+a=0.
A5. Utk setiap a,b€R berlaku a x b=b x a.
A6. Utk setiap a,b€R berlaku a x (b x c)=(a x b) x a.
A7. Utk setiap a€R ada tepat 1€R sehingga a x 1 = 1 x a = a.
A8. Utk setiap a€R ada tepat (1/a)€R sehingga (1/a) x a = a x (1/a) = 1.
A9. Utk setiap a,b,c€R berlaku a x (b+c)=(b+c) x a=a x b+a x c.

Di atas saya katakan bahwa saya akan sedikit mengupas tentang aksioma aljabar. Mengapa? Karena banyak teorema yang bisa diturunkan dari aksioma tsb. Contoh:
Untuk a,b€R berlaku:
1. a.0=0
2. a.b=0 => a=0 atau b=0
3. -(-a)=a
4. (-a)(-b)=ab
5. dll..

Pembahasan dan pembuktian teorema teorema tadi akan saya bahas lain waktu.
Terima kasih
:)