Beberapa waktu lalu saya posting mengupas mengenai sifat aljabar bilangan real disini dan janji akan membahas beberapa teorema yang bersangkutan, diantaranya :
Untuk setiap a,b R,berlaku :
1) a.b=0 → a=0 atau b=0.
2) -(-a)=a
3) jika b+a=a, maka b=0
4) jika a.b=b, maka a=1

Berikut ini buktinya.
1) a.b=0 → a=0 atau b=0.
Andaikan a≠0, harus dibuktikan bahwa b=0.
b=b.1
b=b(a.(1/a)) karena a≠0,maka (1/a) ada.
b=(b.a)(1/a). aksioma asosiatif kali
b=(a.b)(1/a) aksioma komutatif jumlah
b=0. diketahui a.b=0
b=0 (q.e.d)

2) -(-a)=a
a+(-a)=0
Artinya a adalah invers jumlah dari (-a) ………………(i)
sekarang, -(-a)+(-a) = -1(-a)+1(-a) = (-a) (-1+1) = (-a).0=0.
Artinya, -(-a) adalah invers jumlah dari (-a) ………………(ii)
Karena invers jumlah suatu bilangan adalah unik/tunggal, dari (i) dan (ii) didapat
-(-a) = a (q.e.d)

3) jika b+ a = a, maka b=0
b=b + 0 aksioma invers jumlah
b=b + (a+(-a)) aksioma invers jumlah
b=(b+a) + (-a) aksioma asosiatif jumlah
b=a + (-a) diketahui bahwa b+a=a
b=0 (q.e.d)

4) jika a.b=b, maka a=1
a=a.1 aksioma invers kali
a=a(b. ) aksioma invers kali
a=(ab) aksioma asosiatif kali
a=b diketahui a.b=b
a=1 q.e.d