Math Addict: Pembuktian Dengan Kontrapositif

Salah satu metode pembuktian dalam matematika adalah pembuktian dengan kontrapositif. Pembuktian dengan kontrapositif adalah salah satu metode pembuktian tidak langsung selain pembuktian dengan kontradiksi. Pembuktian dengan kontrapositif ini didasarkan pada nilai kebenaran pernyataan “jika P maka Q” ekivalen dengan “jika bukan Q maka bukan P”. Jadi, yang perlu kita lakukan untuk membuktikan suatu implikasi dengan kontrapositif adalah dengan menegasikan konklusinya, kemudian tunjukkan bahwa negasi dari konklusi mengakibatkan negasi dari antisedennya.

Contoh : Buktikan jika $n\in \mathbb{Z}$ dan $n^{2}$ adalah genap, maka n adalah genap!
Bukti : Pernyataan pada contoh di atas jika dinyatakan dalam simbol logika adalah $P\rightarrow Q$ dengan P : $n\in \mathbb{Z}$ dan $n^{2}$ adalah genap dan Q : n adalah genap. Yang harus dilakukan adalah menegasikan Q dengan baik, yaitu n adalah ganjil.
Karena n ganjil, maka n dapat dinyatakan sebagai berikut
$n=2k+1$ untuk semua $k\in \mathbb{Z}$
$n^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=2(2k^{2}+2k)+1$
Kemudian dengan memisalkan $(2k^{2}+2k)=m$ maka $n^{2}=2m+1$ untuk semua $m\in \mathbb{Z}$ . Ini Berarti $n^{2}$ adalah bilangan ganjil.

Math Addict

Jumat, 18 Februari 2011

Pembuktian Dengan Kontrapositif

Tidak ada komentar:

Posting Komentar